Dönerek öteleme hareketi nasıl formüle edilir?

Bir cismin aynı anda hem dönme hem de öteleme hareketi yapması olarak tanımlanan dönerek öteleme hareketi, fizikteki bileşik hareket türlerinden biridir. Yuvarlanan tekerlekler ve bowling topları gibi günlük nesnelerde gözlemlenen bu hareketin matematiksel analizi için kinematik ve dinamik formüller kullanılır.

Konu kakkında 1 soru soruldu ve cevaplandı

Dönerek Öteleme Hareketi Nedir?

Dönerek öteleme hareketi, bir cismin hem kendi ekseni etrafında dönme (rotasyon) hem de bir doğru boyunca öteleme hareketini aynı anda gerçekleştirdiği bileşik harekettir. Günlük hayatta bu harekete en iyi örnekler; yolda yuvarlanan bir tekerlek, bisiklet pedalı veya bir bowling topudur. Bu hareket, dönme ve ötelenmenin matematiksel olarak birleştirilmesiyle formüle edilir.

Dönerek Öteleme Hareketinin Formülleri

Dönerek öteleme hareketini analiz etmek için hem dönme hem de öteleme kinematiği kurallarını birlikte kullanırız. Cisim, kütle merkezi (KM) etrafında dönerken aynı zamanda KM'si doğrusal bir yörünge izler.

Öteleme Kısmı: Kütle merkezinin doğrusal hareketini tanımlar.

- Hız: \( v_{KM} = \frac{ds}{dt} \) - İvme: \( a_{KM} = \frac{dv_{KM}}{dt} \) - Yer Değiştirme: \( s = v_{KM} \cdot t \) (sabit hız için)

Burada \( v_{KM} \) kütle merkezinin hızı, \( a_{KM} \) kütle merkezinin ivmesi, \( s \) alınan yol ve \( t \) zamandır.

Dönme Kısmı: Cismin kendi ekseni etrafındaki dönüşünü tanımlar.

- Açısal Hız: \( \omega = \frac{d\theta}{dt} \) - Açısal İvme: \( \alpha = \frac{d\omega}{dt} \) - Açısal Yer Değiştirme: \( \theta = \omega \cdot t \) (sabit açısal hız için)

Burada \( \omega \) açısal hız, \( \alpha \) açısal ivme ve \( \theta \) dönüş açısıdır.

Kaymadan Yuvarlanma Koşulu: Kaymadan yuvarlanan cisimler için özel bir ilişki vardır.

Kaymadan yuvarlanan bir cisimde, kütle merkezinin hızı ile açısal hız arasında şu ilişki bulunur:

\( v_{KM} = \omega \cdot R \)

Burada \( R \) cismin yarıçapıdır. Benzer şekilde, ivmeler arasında da:

\( a_{KM} = \alpha \cdot R \)

ilişkisi geçerlidir.

Enerji Formülleri

Dönerek öteleme yapan bir cismin toplam kinetik enerjisi, öteleme ve dönme kinetik enerjilerinin toplamına eşittir:

\( K_{toplam} = \frac{1}{2} m v_{KM}^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 \)

Burada \( m \) cismin kütlesi, \( I \) ise cismin kütle merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momentidir.

Dinamik Formülleri

Newton'un ikinci yasası hem öteleme hem de dönme için ayrı ayrı uygulanır:

- Öteleme: \( \sum F = m \cdot a_{KM} \) - Dönme: \( \sum \tau = I \cdot \alpha \)

Burada \( \sum F \) net kuvvet, \( \sum \tau \) net torktur.

Örnek Uygulama

Eğik bir düzlemde kaymadan yuvarlanan bir küre düşünelim. Kürenin eylemsizlik momenti \( I = \frac{2}{5} m R^2 \) olur. Enerji korunumundan, kürenin eğik düzlem boyunca aldığı \( h \) yüksekliği için:

\( m g h = \frac{1}{2} m v_{KM}^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} m R^2 \cdot \omega^2 \)

Kaymadan yuvarlanma koşulunu (\( v_{KM} = \omega R \)) yerine koyarsak:

\( m g h = \frac{1}{2} m v_{KM}^2 + \frac{1}{5} m v_{KM}^2 = \frac{7}{10} m v_{KM}^2 \)

Buradan kütle merkezinin hızı: \( v_{KM} = \sqrt{\frac{10}{7} g h} \) olarak bulunur.

Dönerek öteleme hareketi, bu temel formüller ve ilişkiler kullanılarak analiz edilir ve mühendislikten günlük yaşama kadar birçok alanda uygulama bulur.

Yeni Soru Sor / Yorum Yap